前言
做極限題時，有一種方法，是先假設極限值為 α \alpha α α \alpha α
但高中數學很多時候不是計算題，過程稍不嚴謹無妨，只要自己確信是對的就好。比方說按題意極限很明顯存在，只是我不去證。
其實高中數學老早有這種方法了。當我們求馬可夫鏈的穩定態，嚴格說起來是求
[ x y ] = lim n → ∞ A n [ x 0 y 0 ] \begin{align}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
=\lim_{n\to\infty}
A^n
\begin{bmatrix}
x_0\\
y_0
\end{bmatrix}
\end{align} [ x y ] = n → ∞ lim A n [ x 0 y 0 ] 但高二下學到矩陣時，尚未學到高三的極限概念。就算對高三生來講，解 A n A^n A n [ x y ] \begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} [ x y ]
[ x y ] = lim n → ∞ A n [ x 0 y 0 ] = lim n → ∞ A n + 1 [ x 0 y 0 ] = A lim n → ∞ A n [ x 0 y 0 ] \begin{align}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
=&\,\lim_{n\to\infty}A^n
\begin{bmatrix}
x_0\\
y_0
\end{bmatrix}\\[4mm]
=&\,\lim_{n\to\infty}A^{n+1}
\begin{bmatrix}
x_0\\
y_0
\end{bmatrix}\\[4mm]
=&\,A\lim_{n\to\infty}A^n
\begin{bmatrix}
x_0\\
y_0
\end{bmatrix}
\end{align} [ x y ] = = = n → ∞ lim A n [ x 0 y 0 ] n → ∞ lim A n + 1 [ x 0 y 0 ] A n → ∞ lim A n [ x 0 y 0 ] 事實上，馬可夫鏈不一定有穩定狀態，反例如轉移矩陣
A = [ 0 1 1 0 ] A=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix} A = [ 0 1 1 0 ] [ x 0 y 0 ] \begin{bmatrix}
x_0\\
y_0
\end{bmatrix} [ x 0 y 0 ] x 0 ≠ 0.5 x_0\ne0.5 x 0 = 0.5
另一例是期望值的某一種解法。若骰子丟中一點得 1 元，六點得 6 元，其它點數則先得 1 元再繼續投擲，求獎金期望值。正規寫法，會寫出複雜的無窮級數。對於這個無窮級數，不直接運算，而是拉出
E = 1 6 × 1 + 1 6 × 6 + 2 3 × 1 6 × ( 1 + 1 ) + 2 3 × 1 6 × ( 6 + 1 ) + ( 2 3 ) 2 × 1 6 × ( 1 + 2 ) + ( 2 3 ) 2 × 1 6 × ( 6 + 2 ) + ⋯ = 1 6 × 1 + 1 6 × 6 + 2 3 × [ 1 6 × ( 1 + 1 ) + 1 6 × ( 6 + 1 ) + 2 3 × 1 6 × ( 1 + 2 ) + 2 3 × 1 6 × ( 6 + 2 ) + ( 2 3 ) 2 × 1 6 × ( 1 + 3 ) + ( 2 3 ) 2 × 1 6 × ( 6 + 3 ) + ⋯ ] = 1 6 × 1 + 1 6 × 6 + 2 3 × [ 1 + 1 6 × 1 + 1 6 × 6 + 2 3 × 1 6 × ( 1 + 1 ) + 2 3 × 1 6 × ( 6 + 1 ) + ( 2 3 ) 2 × 1 6 × ( 1 + 2 ) + ( 2 3 ) 2 × 1 6 × ( 6 + 2 ) + ⋯ ] = 1 6 × 1 + 1 6 × 6 + 2 3 × ( 1 + E ) \begin{align}
E=&\,\frac16\times1+\frac16\times6\\[4mm]
&\quad+\frac23\times\frac16\times(1+1)+\frac23\times\frac16\times(6+1)\\[4mm]
&\quad+\left(\frac23\right)^2\times\frac16\times(1+2)+\left(\frac23\right)^2\times\frac16\times(6+2)+\cdots\\[4mm]
=&\,\frac16\times1+\frac16\times6\\[4mm]
&\quad+\frac23\times\Big[\frac16\times(1+1)+\frac16\times(6+1)\\[4mm]
&\quad+\frac23\times\frac16\times(1+2)+\frac23\times\frac16\times(6+2)\\[4mm]
&\quad+\left(\frac23\right)^2\times\frac16\times(1+3)+\left(\frac23\right)^2\times\frac16\times(6+3)+\cdots\Big]\\[4mm]
=&\,\frac16\times1+\frac16\times6\\[4mm]
&\quad+\frac23\times\Big[1+\frac16\times1+\frac16\times6\\[4mm]
&\quad+\frac23\times\frac16\times(1+1)+\frac23\times\frac16\times(6+1)\\[4mm]
&\quad+\left(\frac23\right)^2\times\frac16\times(1+2)+\left(\frac23\right)^2\times\frac16\times(6+2)+\cdots\Big]\\[4mm]
=&\,\frac16\times1+\frac16\times6+\frac23\times(1+E)
\end{align} E = = = = 6 1 × 1 + 6 1 × 6 + 3 2 × 6 1 × ( 1 + 1 ) + 3 2 × 6 1 × ( 6 + 1 ) + ( 3 2 ) 2 × 6 1 × ( 1 + 2 ) + ( 3 2 ) 2 × 6 1 × ( 6 + 2 ) + ⋯ 6 1 × 1 + 6 1 × 6 + 3 2 × [ 6 1 × ( 1 + 1 ) + 6 1 × ( 6 + 1 ) + 3 2 × 6 1 × ( 1 + 2 ) + 3 2 × 6 1 × ( 6 + 2 ) + ( 3 2 ) 2 × 6 1 × ( 1 + 3 ) + ( 3 2 ) 2 × 6 1 × ( 6 + 3 ) + ⋯ ] 6 1 × 1 + 6 1 × 6 + 3 2 × [ 1 + 6 1 × 1 + 6 1 × 6 + 3 2 × 6 1 × ( 1 + 1 ) + 3 2 × 6 1 × ( 6 + 1 ) + ( 3 2 ) 2 × 6 1 × ( 1 + 2 ) + ( 3 2 ) 2 × 6 1 × ( 6 + 2 ) + ⋯ ] 6 1 × 1 + 6 1 × 6 + 3 2 × ( 1 + E ) 這樣可簡單移項解出 E = 11 2 E=\dfrac{11}2 E = 2 11
雖說後來的移項很簡單，但前面這樣拉出來並不太容易。可改採較機率的看法，畫出整個遊戲的無限延伸樹狀圖，設期望值 E E E E E E
E = 1 6 × 1 + 1 6 × 6 + 2 3 × ( 1 + E ) \begin{align}
E=\frac16\times1+\frac16\times6+\frac23\times(1+E)
\end{align} E = 6 1 × 1 + 6 1 × 6 + 3 2 × ( 1 + E ) 例題
以下將再介紹，利用類似以上二例辦法，來解開高中數學裡的極限問題。
極限題例題 1
數線上 A ( 0 ) , B ( 1 ) A(0), B(1) A ( 0 ) , B ( 1 ) P 1 P_1 P 1 A B ‾ \overline{AB} A B P 2 P_2 P 2 P 1 B ‾ \overline{P_1B} P 1 B P 3 P_3 P 3 P 1 P 2 ‾ \overline{P_1P_2} P 1 P 2 P 4 P_4 P 4 P 3 P 2 ‾ \overline{P_3P_2} P 3 P 2 lim n → ∞ P n = \displaystyle\lim_{n\to\infty}P_n =\,\rule{3em}{.6pt} n → ∞ lim P n =
正規解法為依題目敘述分析出答案為
1 − 1 2 + 1 4 − 1 8 + ⋯ \begin{align}
1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots
\end{align} 1 − 2 1 + 4 1 − 8 1 + ⋯ 有看出這個就好算了。若無法看出，可改採下面這個方法。
若我們直接設答案為 x x x 0 0 0 1 1 1 x x x a a a b b b b > a b>a b > a c c c
x − 0 1 − 0 = c − a b − a \begin{align}
\frac{x-0}{1-0}=\frac{c-a}{b-a}
\end{align} 1 − 0 x − 0 = b − a c − a 所以當我們按題目操作兩步驟得到 P 1 ( 1 2 ) P_1\left(\dfrac12\right) P 1 ( 2 1 ) P 2 ( 3 4 ) P_2\left(\dfrac34\right) P 2 ( 4 3 ) P 1 P_1 P 1 P 2 P_2 P 2 x x x
x − 0 1 − 0 = x − 1 2 3 4 − 1 2 \begin{align}
\frac{x-0}{1-0}=\frac{x-\frac12}{\frac34-\frac12}
\end{align} 1 − 0 x − 0 = 4 3 − 2 1 x − 2 1 這樣就解出 x = 2 3 x=\frac23 x = 3 2
此題因正規解法也不是太難想到，所以此解法威力不夠明顯。接著再看類似解法用在下一題。
極限題例題 2
平面上，P 0 P_0 P 0 P 1 ( 1 , 0 ) P_1(1,0) P 1 ( 1 , 0 ) P n + 1 P n ‾ = 2 3 P n P n − 1 ‾ \overline{P_{n+1}P_n}=\dfrac{2}{3}\overline{P_nP_{n-1}} P n + 1 P n = 3 2 P n P n − 1 n n n m P n + 1 P n ‾ = 0 m_{\overline{P_{n+1}P_n}}=0 m P n + 1 P n = 0 n n n m P n + 1 P n ‾ = 3 m_{\overline{P_{n+1}P_n}}=\sqrt{3} m P n + 1 P n = 3 n n n P n ( a n , b n ) P_n(a_n,b_n) P n ( a n , b n ) ( lim n → ∞ a n , lim n → ∞ b n ) = \displaystyle\big(\lim_{n\to\infty}a_n,\lim_{n\to\infty}b_n\big)=\,\rule{5em}{.6pt} ( n → ∞ lim a n , n → ∞ lim b n ) =
解
設極限點 P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) P 2 ( 4 3 , 2 3 3 ) P_2\left(\frac43,\frac23\sqrt3\right) P 2 ( 3 4 , 3 2 3 )
O P → = O P 2 → + ( 2 3 ) 2 P 2 P → \begin{align}
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_2}+\left(\frac23\right)^2\overrightarrow{P_2P}
\end{align} O P = O P 2 + ( 3 2 ) 2 P 2 P 即
( x , y ) = ( 4 3 + 4 9 x , 2 3 3 + 4 9 y ) \begin{align}
(x,y)=\left(\frac43+\frac49x,\frac23\sqrt3+\frac49y\right)
\end{align} ( x , y ) = ( 3 4 + 9 4 x , 3 2 3 + 9 4 y ) 便易解出 ( x , y ) = ( 12 5 , 6 5 3 ) \left(x,y\right)=\left(\frac{12}5,\frac65\sqrt3\right) ( x , y ) = ( 5 12 , 5 6 3 )
極限題例題 3
數列 ⟨ a n ⟩ \langle a_n\rangle ⟨ a n ⟩ ⟨ b n ⟩ \langle b_n\rangle ⟨ b n ⟩ a 1 = 1 , b 1 = 2 a_1=1,b_1=2 a 1 = 1 , b 1 = 2
[ a n + 1 b n + 1 ] = [ 1 − 2 − 1 0 ] [ a n b n ] ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) \begin{align}
\begin{bmatrix}
~a_{n+1}~\\
~b_{n+1}~
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
~1 & -2~\\
~-1 & 0~
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
~a_n~\\
~b_n~
\end{bmatrix}
\;\; (n=1,2,3,\cdots)
\end{align} [ a n + 1 b n + 1 ] = [ 1 − 1 − 2 0 ] [ a n b n ] ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 若極限 lim n → ∞ b n a n = α \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\alpha n → ∞ lim a n b n = α α < 1 \alpha<1 α < 1 α = \alpha=\rule{3em}{.6pt} α =
解
α = lim n → ∞ b n a n = lim n → ∞ b n + 1 a n + 1 = lim n → ∞ − a n a n − 2 b n = lim n → ∞ − 1 1 − 2 ⋅ b n a n 上下同除以 a n = − 1 1 − 2 α \begin{align*}
\alpha
=&\,\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}\\[4mm]
=&\,\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\\[4mm]
=&\,\lim_{n\to\infty}\frac{-a_n}{a_n-2b_n}\\[4mm]
=&\,\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{1-2\cdot\dfrac{b_n}{a_n}}
\hspace{9mm}\colorbox{aqua}{上下同除以 $a_n$}\\[4mm]
=&\,\frac{-1}{1-2\alpha}
\end{align*} α = = = = = n → ∞ lim a n b n n → ∞ lim a n + 1 b n + 1 n → ∞ lim a n − 2 b n − a n n → ∞ lim 1 − 2 ⋅ a n b n − 1 上下同除以 a n 1 − 2 α − 1 移項可得 2 α 2 − α − 1 = 0 2\alpha^2-\alpha-1=0 2 α 2 − α − 1 = 0 α = 1 \alpha=1 α = 1 − 1 2 -\dfrac12 − 2 1 α < 1 \alpha<1 α < 1 α = − 1 2 \alpha=-\dfrac12 α = − 2 1
此題來自中央數學系甄試二階段筆試，由於題目已經聲明極限存在，所以這解法並不賴皮，甚至可能就是命題老師預設的解法。
練習題
經過上面演示，就不難將相同套路用在下面題目。
練習題 1
有一青蛙先由 P P P 1 1 1 P 1 P_1 P 1 P 1 P_1 P 1 3 4 \dfrac34 4 3 P 2 P_2 P 2 P 2 P_2 P 2 3 4 \dfrac34 4 3 P 3 P_3 P 3 P 3 P_3 P 3 3 4 \dfrac34 4 3 P 4 P_4 P 4 P 4 P_4 P 4 3 4 \dfrac34 4 3 P 5 P_5 P 5 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 3 4 \dfrac34 4 3 P 6 , P 7 , ⋯ P_6,P_7,\cdots P 6 , P 7 , ⋯ lim k → ∞ P k = Q \displaystyle\lim_{k\to\infty}P_k=Q k → ∞ lim P k = Q \ol P Q = \ol{PQ}=\rule{3em}{.6pt} \ol P Q =
練習題 2
數學村裡有一棵憲性袋樹，長法很奇怪又有趣。第一天樹開始長高 1 公尺，第二天在頂上長出對稱的兩支新枝，每一新枝各長 1 2 \dfrac12 2 1 1 4 \dfrac14 4 1 1 2 \dfrac12 2 1 \rule{3em}{.6pt}
