由線代觀點解一道高中矩陣模考題

本文原是想投稿線代啟示錄，然而周老師已經離開交大，也許久未更新blog，難過惋惜之餘，決定自己來寫。

在去年的北模試題中，出現一題對高中生來說比較兇猛的矩陣問題。其實有些所謂的高中數學難題，是由大學數學「取材」來並修改成不超綱的樣子，但本質上仍不算一般高中生應學會的。以下便呈現此題，並分享在及學過大學線代的前提下可以如何輕鬆解題。

題目： 已知二階方陣 \(A=\begin{bmatrix} a & b\\c & d\end{bmatrix}\)，其中\(a, b, c, d\)均為實數，

\(X_0=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} , X_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} , X_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix} , X_3=\begin{bmatrix}x_3\\y_3\end{bmatrix}\)，請選出正確選項：

(1) 若\(ad-bc=0\)，且\(abcd\neq0\)，\(X_0\)為坐標平面上之一點，則\(AX_0\)必落在斜率為\(\frac{c}{a}\)且通過原點的直線上。

(2) 若\(ad-bc=0\)，且\(abcd\neq0\)，則滿足方程式\(A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)的所有\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\)必落在斜率為\(-\frac{a}{c}\)且通過原點的直線上。

(3) 若\(A=\begin{bmatrix}\frac15&\frac35\\\frac25&\frac65\end{bmatrix}\)，\(X_0\)為坐標平面上之一點，則\(AX_0\)為\(X_0\)在直線\(y=2x\)上之投影。

(4) 若\(ad-bc\neq0\)，且\(X_1 , X_2 , X_3\)為坐標平面上不共線三點，則\(AX_1 , AX_2 , AX_3\)三點亦不共線。

(5) 若坐標平面上任一點 \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\) 皆可依序先由二階方陣 \(A\) 變換，再經方陣\(\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}\)變換至\(\begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix}\)，則矩陣 \(A\) 為鏡射矩陣。

解：

(1)  ○  \(\det(A)=0\)則必然第二列是第一列的 \(k\) 倍，即 \(c=ka , d=kb\) 。那麼\(AX_0=\begin{bmatrix}a&b\\ka&kb\end{bmatrix}X_0\)乘完結果必然第二列是第一列的\(k\)倍，即 \(y\) 坐標必為 \(x\) 坐標的\(k=\frac{c}{a}\)倍。

(2)  ×  等同於求解聯立方程式\(\begin{cases}ax+by=0\\kax+kby=0\end{cases}\)，故應為\(-\frac{a}{b}\) 。

(3)  ×  投影矩陣\(P\)必滿足\(P^2=P\)，顯然不合。

(4)  ○  \(\triangle X_1X_2X_3\)在經方陣 \(A\) 變換後，其面積必變為原來的\(\det(A)\)倍，故選項正確。

(5)  ×  設\(B=\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}=5T_1\)，其中 \(T_1\) 為轉\(\theta\)角的旋轉矩陣，\(\cos(\theta)=\frac45\) 。由題意\(AB=-I\)，則\(A=\frac15T_2\)，其中 \(T_2\) 為轉\(180^{\circ}-\theta\)角的旋轉矩陣，顯然不是鏡射矩陣。

選項(3)亦可由另一個角度來看：如果 \(AX_0\) 是 \(X_0\) 在 \(L:y=2x\) 上的投影，那麼 \(AX_0-X_0\) 便是 \(L\) 的法向量，換句話說，其與 \(L\) 的方向向量垂直，便可列式
\begin{align}
\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}
(AX_0-X_0)=&\,0\\
\Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\big(A-I\big)X_0=&\,0\\
\Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-\frac45&\frac35\\
\frac25&\frac15\end{bmatrix}X_0=&\,0\\
\Rightarrow\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}X_0=&\,0
\end{align}

顯然這並不是對任意 \(X_0\) 皆成立的。