幾道練習題分享

1. 已知\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x
=\int_a^{\infty}4x^2e^{-2x}dx\)，求常數 \(a\) 。

解

\begin{align*}
&\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x\\
=&\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{-2a}{x+a}\right)^x\\
=&\,e^{-2a}\\
&\int_a^{\infty}4x^2e^{-2x}dx\\
=&\left.-2x^2e^{-2x}\right\vert_a^{\infty}
+4\int_a^{\infty}xe^{-2x}dx\quad\\
=&\,2a^2e^{-2a}+2ae^{-2a}+e^{-2a}\\
\Rightarrow e^{-2a}=&\left(2a^2+2a+1\right)e^{-2a}\\
\Rightarrow a=&\,0 \text{ or } -1
\end{align*}

2. 對於 \(\displaystyle \int_0^{x+y}e^{-t^2}dt
=\int_0^x x\sin(t^2)dt\)，求 \(\left.\dfrac{dy}{dx}\right\vert_{x=0}\)。

解

等號兩邊同時對 \(x\) 求導\begin{align*}
e^{-(x+y)^2}=\int_0^x\sin(t^2)dt+x\sin(x^2)
\end{align*}
代 \(x=0\)\begin{align*}
e^{-y^2}\left(1+\left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=0}\right)=&0\\
\Rightarrow \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=0}=&-1
\end{align*}

3. 判斷級數斂散性： \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
\frac 1 {\int_0^n \frac{\sqrt x}{\sqrt{1+x^2}} dx}\) 。

解

首先處理積分，被積分函數的分子 \(\sqrt{x}\) 在區間 \([0,n]
\) 上恆滿足 \(\sqrt{x}\le\sqrt{n}\)，故有\begin{align*}
\int_0^n \frac{\sqrt x}{\sqrt{1+x^2} dx}\le &
\sqrt{n}\int_0^n \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx\\
=&\sqrt{n}\cdot\sin^{-1}(n)\\
\le&\frac{\pi} 2\sqrt{n}
\end{align*}
所以有\begin{align*}
\frac{1}{\int_0^n \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^2}} dx}
\ge\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}
\end{align*}
由於 \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) 發散，由比較審斂法，原級數發散。

4. 求出 \(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}
\frac{x(1-x)}{k+(n-k)x}\;,\,x\in[0,1]\) 。

解

顯然 \(f(0)=f(1)=0\)。對於 \(x\in(0,1)\)，
\begin{align*}
&\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}
\frac{x(1-x)}{k+(n-k)x}\\
=&x(1-x)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}
\frac{1}{k(1-x)+nx}\\
=&x(1-x)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}
\frac{1}{(\frac{k}{n})(1-x)+x}\cdot\frac{1}{n}\\
=&x(1-x)\int_0^1 \frac{1}{(1-x)y+x}dy\\
=&x\cdot\left[\ln\abs{(1-x)y+x}\right]_0^1\\
=&-x\ln(x)
\end{align*}
故\begin{align*}
f(x)=\mycases{3ex}{-6pt}\begin{array}{ll}
-x\ln(x) & ,\,0<x\le1\\
0 & ,\,x=0
\end{array}
\end{align*}