泰勒展開是微積分當中非常重要、非常好用的主題，它是微分學的巔峰。 很多理工的同學離開大一微積分以後，也常要使用到泰勒展開。 請看此次教學，希望能讓你明白它為何如此重要、好用， 以及讓你能較省力地求出泰勒級數出來。 下載全文 給本文評個分 0 / 5 Your page rank:
因為微積分課程早在此之前就介紹過自然指數，大家應該對它多少有點概念，所以應該多少都知道 e 的值大約是2.7左右。 我是在此前提下預設大家都知道 e 大約是2.7，但假如真的不知道的話，反正重點其實也不是2.7，重點是我想找出一個它的上界(所以你看我乾脆說它小於3)。所以我們可以想其它辦法來估計說它會小於誰。 譬如說，首先我們知道 \[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\] 我們想讓它小於一個我們覺得易算的東西，譬如說我利用 \[n!>2^n\] 這在$$ n\geq 4 $$ 時都成立，所以我們可以確定 \[\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n!}<\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^n}\] 而右式其實是無窮等比級數，易求出 \[\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\] 於是e就會小於 \[1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\] 這樣仍然得到 $$e$$ 會比 $$3$$ 還小。如果你用別的辦法來估出它小於 $$4$$ 或小於其它值，那也無所謂，重點是找到一個上界以便我們作誤差估計。 回覆
例題1.8
sigma 的分母應該是(n*(3^n))
感謝回報，已經更正
謝謝老師做的精美講義~
不過第6頁計算arcsin()在0的展開
x 4次方的係數好像應該是(3/8)而不是(1/8)
以及逐項積分的x 4次方也要稍微改一下
辛苦老師了~~ 🙂 🙂
你好，請問第23頁將e取為2.7，再用此值來算誤差。 但是2.7是如何得知，若是由泰勒展式，那又怎麼知道展式是”合宜”的展開? 感謝回答。
因為微積分課程早在此之前就介紹過自然指數，大家應該對它多少有點概念，所以應該多少都知道 e 的值大約是2.7左右。
我是在此前提下預設大家都知道 e 大約是2.7，但假如真的不知道的話，反正重點其實也不是2.7，重點是我想找出一個它的上界(所以你看我乾脆說它小於3)。所以我們可以想其它辦法來估計說它會小於誰。
譬如說，首先我們知道
\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]
我們想讓它小於一個我們覺得易算的東西，譬如說我利用
\[n!>2^n\]
這在$$ n\geq 4 $$ 時都成立，所以我們可以確定
\[\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n!}<\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^n}\]
而右式其實是無窮等比級數，易求出
\[\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\]
於是e就會小於
\[1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\]
這樣仍然得到 $$e$$ 會比 $$3$$ 還小。如果你用別的辦法來估出它小於 $$4$$ 或小於其它值，那也無所謂，重點是找到一個上界以便我們作誤差估計。
另外，我不清楚何謂「合宜」的展開，你可以再把你的意思說清楚點嗎？