前言
在《白話微積分》當中曾提到：
由於本書最主要目的是協助大眾輕鬆備考，因此許多地方述而不證，深怕將考生帶偏考試重點。
但對於一些純粹喜歡求知、覺得沒證明看了不舒服，或者數學系同學來講，就難以滿足。
以下便分享證明過程，初次撰寫時先略過三角函數不寫，留待後續補上。
證明過程
證明冪函數 \(f(x)=x^n\) 是連續函數
\(n=0\) 的情況
不寫了吧！
\(n\) 為自然數的情況
那就直接數學歸納法：
如果 \(n=1\) ，對於任意實數 \(a\) ，欲證
\begin{align}
\lim_{x\to a}x=a
\end{align}
給定任意 \(\epsilon\) ，取 \(\delta=\epsilon\) ，則只要
\begin{align}
0<|x-a|<\delta
\end{align}
便有
\begin{align}
|x-a|<\delta=\epsilon
\end{align}
假設當 \(n=k\in\mathbb{N}\) ， \(x^k\) 是連續函數。
那麼當 \(n=k+1\) ，
\begin{align}
x^{k+1}=x^k\cdot x
\end{align}
也是連續函數。
故由數學歸納法得證：對於任意自然數 \(n\) ，\(f(x)=x^n\) 是連續函數。
\(n\) 為負整數的情況
若 \(n=-k\) ， \(k\in\mathbb{N}\) ，則
\begin{align}
x^{n}=\frac1{x^k}
\end{align}
也是連續函數。
\(n\) 為有理數的情況
對於 \(n=\frac ab\) ，\(a\) 與 \(b\) 皆為非零整數，則
\begin{align}
x^{n}=\frac{x^a}{x^b}
\end{align}
也是連續函數。
\(n\) 為實數的情況
須引用到下文所證明的：指數函數與對數函數皆為連續函數，
搭配連續函數的複合函數也是連續函數，則
\begin{align}
&\,x^{n}\\[2mm]
=&\,e^{\ln x^n}\\[2mm]
=&\,e^{n\ln x}
\end{align}
證明指數函數是連續函數
\(f(x)=e^x\) 是連續函數
\(f(x)=e^x\) 在 \(x=0\) 連續
一個著名不等式
Claim:
對於 \(|x|<1\) ，
\begin{align}
1 + x \le e^x \le \frac{1}{1-x}
\end{align}
Proof of Claim:
(1) 根據伯努利不等式：
\begin{align}
&\,\Big(1+\frac xn\Big)^n\\[2mm]
\ge&\, 1+n\Big(\frac xn\Big)\\[2mm]
=&\,1+x
\end{align}
接著只要取 \(n\to\infty\) ，就有
\begin{align}
e^x
=&\,\lim_{n\to\infty}
\Big(1+\frac xn\Big)^n\\[2mm]
\ge &\,1+x
\end{align}
(2) 將 \(-x\) 代回 \(x\) ，
\begin{align}
e^{-x}\ge&\, 1-x\\[2mm]
e^x\le&\,\frac1{1-x}
\end{align}
由於我們的前提是 \(|x|<1\) ，這使得這裡的倒數操作沒問題。
利用夾擠定理
因為
\begin{align}
&\lim_{x\to0}
\big(1+x\big)=1\\[2mm]
&\lim_{x\to0}
\frac1{1-x}=1
\end{align}
所以由夾擠定理，
\begin{align}
\lim_{x\to0}
e^x=1
\end{align}
故得證，\(f(x)=e^x\) 在 \(x=0\) 連續。
\(f(x)=e^x\) 處處連續
對於任意 \(a\in\mathbb{R}\) ，
\begin{align}
&\,\lim_{\Delta x\to 0}
e^{a+\Delta x}\\[2mm]
=&\,\lim_{\Delta x\to 0}
e^{a}\cdot e^{\Delta x}\\[2mm]
=&\,e^{a}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}
e^{\Delta x}\\[2mm]
=&\,e^{a}\cdot1
\end{align}
因此 \(f(x)=e^x\) 在任意 \(x=a\) 處皆連續
\(f(x)=a^x\) 是連續函數， \(a>0\) ， \(a\ne1\)
\begin{align}
f(x)=&\,a^x\\[2mm]
=&\,e^{\ln a^x}\\[2mm]
=&\,e^{x\ln a}
\end{align}
也是連續函數。
證明對數函數是連續函數
最簡單的做法是引用反函數連續性定理：
設 $I$ 為 $\mathbb{R}$ 上的一個區間（Interval）。
若函數 $f: I \to \mathbb{R}$ 是連續且嚴格單調的，
則：
- $J = f(I)$ 必定也是一個區間（由中間值定理保證）。
- 反函數 $f^{-1}: J \to I$ 在其定義域 $J$ 上是連續的。
則由於 $f(x)=a^x$ 是連續函數且嚴格單調，則其反函數 $f^{-1}=\log_ax$ 也是連續函數。