有關合成函數求極限的一個反例

合成函數求極限的定理

函數的連續性，在高等數學中是非常重要的。函數的連續與否，影響了許多定理的成立。

例如在《白話微積分》第三版的第51頁，有個性質1.5.2，在求極限是很好用的：

合成函數 $y=f\big(g(x)\big)$，實數 $b$ 在 f(x) 定義域內，滿足 $\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$，
若外層函數 $f(x)$ 在 $x=b$ 處連續，就可以把 $\lim$ 丟到 $f$ 內部，即

\begin{align}
\lim_{x\to a}f(g(x))
=f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big)
=f(b)\end{align}

事實上，對於大多數非數學系同學來講，微積分的學習主要是應付必修課考試，或者是轉學考、研究所入學考。但凡不影響考試答題，多數人都沒有興趣深入探討理論、研究定理成立條件。而因為題目會出現的函數，大部分都是連續函數，除非出題老師本來就刻意從反例出題來考驗考生，不然你只要簡單記得\lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b) 這本身真的是夠用。

那麼，關於這個性質究竟有沒有反例呢？換句話說，能不能構造出不連續的 $f(x)$，使得 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(g(x))$與 $\displaystyle f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big)$不相等呢？

構造反例

其實非常簡單，我們讓外函數 $f(x)$在$x=b$ 處「跳開」即可。

設

\begin{align}
f(x)=\begin{cases}\,1&, \,x=0\\[1mm]
\,0&,\, x\ne0\end{cases}\;,\quad g(x)=x
\end{align}

則

\begin{align}
\lim_{x\to0}f(g(x))=\lim_{x\to0}f(x)=0
\end{align}

但

\begin{align}
f\big(\lim_{x\to0}g(x)\big)
=f\big(\lim_{x\to0}x\big)
=f(0)=1
\end{align}

兩者不相等。