數甲:

 

第一部分

二、多選題

6. 設 \(\langle a_n\rangle\) 、 \(\langle b_n\rangle\) 為兩實數數列,且對所有正整數 \(n
\) , \(a_n<b^2_n<a_{n+1}\) 均成立。若已知 \(\mlim{n\to\infty} a_n=4 \) ,試選出正確的選項。
(1) 對所有正整數 \(n\) , \(a_n>3\) 均成立
(2) 存在正整數 \(n\) ,使得 \(a_{n+1}>4\)
(3) 對所有正整數 \(n\) , \(b_n^2<b_{n+1}^2\) 均成立
(4) \(\mlim{n\to\infty} b_n^2=4\)
(5) \(\mlim{n\to\infty} b_n=2\) 或 \(\mlim{n\to\infty} b_n=-2\)

 

 

(1) \(\XX\)  有可能 \(\langle a_n\rangle\) 的前幾項不成立。具體例子如 \(
\langle a_n\rangle=4-\frac{3}{n}\)

(2) \(\XX\)  由\(a_n<b^2_n<a_{n+1}\) 恆成立可知 \(\langle a_n\rangle
\) 為嚴格遞減數列,若有某項大於 \(4\) ,不可能最終還趨近 \(4\) 。

(3) \(\OO\)  \(a_n<b^2_n<a_{n+1}<b^2_{n+1}\) 恆成立。

(4) \(\OO\)  \(\mlim{n\to\infty}a_n=\mlim{n\to\infty}a_{n+1}=4
\) ,由夾擠定理, \(\mlim{n\to\infty} b^2_n=4\)

(5) \(\XX\)  \(\langle b_n\rangle\) 有可能正負交錯導致發散。

 

 

 

 

第二部分

二. 設 \(f(x)\) 為實係數多項式函數,且 \(xf(x)
=3x^4-2x^3+x^2+\medint\int_1^x f(t)\dt\) 對 \(x\geq1\) 恆成立。試回答下列問題。

(1) 試求 \(f(1)\) 。
(2) 試求 \(f'(x)\) 。
(3) 試求 \(f(x)\) 。
(4) 試證明恰有一大於 \(1\) 的實數 \(a\) 滿足 \(\medint\int_0^a f(x)\dx=1\) 。

 

 

 

(1) 代 \(x=1\):\begin{align}
1\cdot f(1)=&\,3-2+1+\cancelto{0}{\int_1^1 f(t)\dt}\\
\Rightarrow f(1)=&\,2
\end{align}

 

(2) 等號兩邊同時對 \(x\) 求導:\begin{align}
\cancel{f(x)}+xf'(x)=&\,12x^3-6x^2+2x+\cancel{f(x)}\\
\Rightarrow f'(x)=&\,12x^2-6x+2
\end{align}
(3) 由 \(f'(x)=12x^2-6x+2\) 可得 \(f(x)=4x^3-3x^2+2x+C
\) ,再由 \(f(1)=2\) 可得 \(C=-1\) ,故 \(f(x)=4x^3-3x^2+2x-1\)。

 

(4) <1> 代 \(x=0\):\begin{align}
0\cdot f(0)=&\,\int_1^0 f(t)\dt\\
\Rightarrow \int_0^1 f(t)\dt=&\,0
\end{align}

<2> 設 \(F(x)=\medint\int_0^x f(t)\dt\) 。
1. 由 <1> 可知 \(F(1)=0\) 。
2. \(f(x)\) 之領導係數為正,故 \(F(x)\) 之領導係數亦為正,則\(
\mlim{x\to\infty} f(x)=\infty\)。因此存在比 \(1\) 大的數 \(k\) 使得 \(F(k)=1\) 。
3. 當 \(x\ge1\) , \begin{align}F'(x)=&\,f(x)\\
=&\,4x^3-3x^2+2x-1\\
=&\,x^2(4x-3)+(2x-1)\\
\ge&\,1^2\cdot(4-3)+(2-1)>0\end{align}

故 \(
F(x)\) 在 \(x\ge1\) 為嚴格遞增,因此 \(F(x)=1\) 不存在第二個大於 \(1\) 的實數解。

由以上討論,\(\medint\int_0^x f(t)\dt=1\) 恰有一個大於 \(1\) 的實數解,即為所欲證。

 

另解

 

代 \(x=0\):\begin{align}
0\cdot f(0)=&\,\int_1^0 f(t)\dt\\
\Rightarrow \int_0^1 f(t)\dt=&\,0
\end{align}

設\(F(x)=\medint\int_0^x f(t)\dt\) 為連續函數, \(F(1)=0\) 。

當 \(x\ge1\) , \begin{align}
f(x)=&\,4x^3-3x^2+2x-1\\
=&\,x^2(4x-3)+(2x-1)\\
\ge&\,1^2\cdot(4-3)+(2-1)>1\end{align}

可知當 \(x\ge1\) ,被積分函數 \(f(x)\) 恆正, \(F(x)=\medint\int_0^x f(t)\dt
\) 嚴格遞增; \(f(x)\) 恆大於 \(1\) , \(\mlim{x\to\infty} F(x)\ge
\mlim{x\to\infty}\medint\int_1^{x}1\dt=\infty
\) 。故由連續函數的勘根定理知恰有一大於 \(1\) 實數 \(a\) 滿足 \(F(a)=1\) ,即為所欲證。

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