不超綱解一道97指考積分問題

在97年指考數甲有一道多選題：

考慮坐標平面上函數 \(y=x^3+2x+3\) 的圖形（ \(x\) 為任意實數），試問下列哪些選項是正確的？

(1) 到 (4) 略

(5) 圖形與三直線 \(x=0 , x=0\) 及 \(y=0\) 所圍區域面積大於 \(4\)

乍看之下，此選項平平無奇。然而考慮到當年的數學是88課綱，此課綱是沒有介紹微積分基本定理的，所以要求出積分值，以課綱內的做法就是使用上下和。然而在大考中的一個選項使用上下和慢慢做？說笑？

下筆前經常要先看清楚題目問什麼。比方說題問某值是否大於零，若能具體算出來當然也能判斷，但許多時候我們只須簡單判斷出它是否正的，不必辛苦算出來。

以此題來說，由於\(f'(0)=2\)，故以\((0,3)\)為切點的切線方程式為\(y=2x+3\)。代\(x=1\)到切線方程式，得到\(y=5\)。於是四條直線\(L,x=0,x=1,y=0\)所圍梯形區域面積為\(\frac{(3+5)\times1}{2}=4\)。回到原來曲線，由於\(f”(x)=6x\)在\(x>0\)時為正，

這說明曲線\(y=f(x)\)凹向上，切線恆在曲線下方。這樣便知道，原所求區域面積大於梯形面積，也就是大於\(4\)。